他思考出发点是乘法的本质，乘法本质是“几个几之和“。
但因为是“几个几之和”，栋发现我们可以说2个（-3）的和，却没法说（-2）个（-3）的和，后者根本无法解释是个什么东西？怎么办呢？
于是栋想到了把（-2）x （-3）转化为-【2 x (-3）】得到-（-6），等于6。但是这里他也明显感觉到了自己有一个地方论据不足，就是-（-6）=6这里可以这么顺理成章吗？
2.用已知运算结果和相反数来解释：
这是来自于哲的思考，他说：
“如果要推出这个负负得正的结果，首先要从最初始的公式来进行推算。先拿最简单的负数乘以正数来做举例，如-1×1，我们最终能得出来的结果是-1，那么，假如这个算式是-1×-1，那就可以通过上面那个公式来进行推算，因为已经知道一个正数乘以-1，就是得到了它的相反数，那么先可以把-1×(-1)这个式子给它拆开，我们可以把它拆分为-1 x 1和1个负号，那我们首先可以得出来的结果就是-1那么我们现在这里还多了一个负号，那么，按照一个数乘以负数就得到的是它的相反数，那-1的相反数就是1，我们就可以得出了负负得正这个结果。”
用符号语言表达一下就是：
已知
1）（-1）x 1=(-1)
2）任何一个数前面加上负号，就等于它的相反数
证（-1）x（-1）=1
证明过程：
（-1）x（-1）=- (-1 x 1)
=- (-1)（根据已知1）
=1（根据已知2）
哲的思考是有清晰的逻辑层次，首先他叙述了两条作为他推理根基的性质，在此基础上展开了推理。他意识到证明是需要有被认可或被得到过验证的公理/定理支撑的。看到哲的这番表达，我感觉看到了欧几里得智慧的光芒在闪烁，欧式几何系统的构造和哲证明的模式源头上是一致的。
3.找到一个能解释普遍规律的核心式子：
这是鑫的思考路径：
他的思考出发点是他发现，要证明两个负数相乘结果是正数，只要证明（-1）x (-1)=1就可以了，其他可以利用乘法运算律推广。
4.从数形结合角度+等式性质进行解释：
好同学的证明特别有趣，她是从属性结合角度加等式性质进行证明的。
她是这么说的：
“假如电梯现在在负五楼，但我要去八楼，中间隔着几个楼曾呢？观察数轴可得知，中间有着 13 楼之差即8-（-5）也就是8+5=13，所以-（-5）=5，正正得负的答案也就出来了。”
无独有偶，诺和好有着相似的思考过程。
诺说：
“假设今天的最高温度是6℃，最低温度为-3℃，那么这一天的最大温差是多少？最大温差=最高温度-最低温度，即6-（-3）此时在数轴上“6〞在原点右侧，“-3”在原点左侧，用数轴观察可知，“6”和“-3〞之间的距离是“9〞，那么6-（-3）可以写为6+3，由此可知负负可为正。”
这两个孩子的证明方法和中国古代数学家刘徽在《九章算术》用算筹来说明异曲同工，在《万物皆数》这本书里，作者用现代生活场展示了刘徽当时的思考，具体如下：
“让我们使用这个系统来表示货币的收益或损失。想象一下，一支黑色的算筹表示收益5欧元，而一只灰色的算筹表示欠款5欧元，也就是–5欧元。所以，如果你有10根黑色算筹和5根灰色算筹，你的余额等于25欧元。如果有人从你的账户里拿走4根灰色的算筹，你的余额将会发生怎样的变化呢？换句话说，如果我们消除了你的债务，会发生什么呢？答案是明确的：你的余额会增加，你会得到更多的钱。这也就很好地说明了（–4）×（–5）=20。消除负数相当于增加正数！因此，“负负得正”成立。"
同样是数形结合的垒，则利用数轴这一重要工具。他说：
"假如我们用10减-5，而他们一个在0左边，一个在右边，10和0的距离在数轴上是十点，-5和0在数轴上的距离五点，所以十点和五点加起来就是15，所以10-(-5)=10+5=15，由此可得-（-5）=+5。“
5.从负数的本质来证明：
悦同学的思考方式比较特别，她尝试从负数到底是什么，也就是负数的本质来推导负数的乘法，她是这么思考的。
她其实是在根据负数的本质来定义两个负数（-40）和（-3），并期望通过建立情境解决乘法计算问题。因为我们过往对于正有理数加法，乘法的运算定律的证明其实是基于情境去理解。她在非常好的调用自己已经有的经验去探索。
看了这些同学的思考，有人可能忍不住会问，这些证明都对吗？
我想说，数学世界里本身不存在绝对的对错，因为数学就是人的思维构造和定义的一个宇宙。在自主探索阶段，不要用对错来评估孩子们的思考，我们要的是让孩子把自己已经有的经验调动起来去构建新的认知，这才是属于他的基于理解的学习过程。就像新课标的数学教育宗旨那样“用数学眼光观察现实世界，用数学思维思考现实世界，用数学语言表达现实世界”。孩子们现在呈现的这些思考，正是他们用数学眼光观察，用数学思维思考，用数学语言表达的结果，那是每个孩子在与数学相会的旅途中，最可贵的收获。
我已经期待9月开学，就和孩子们一起更深入的去探究神奇的数学天地了。 返回搜狐，查看更多